Chặn Chernoff cho biến ngẫu nhiên X là tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} , được chứng minh bằng cách xem xét phân bố của etX với giá trị thích hợp của t. Phương pháp này được áp dụng đầu tiên bởi Sergei Bernstein để chứng minh bất đẳng thức Bernstein.

Theo bất đẳng thức Markov và tính chất độc lập, ta có bất đẳng thức sau:

Với mọi t > 0,

Pr [ X ≥ a ] = Pr [ e t X ≥ e t a ] ≤ E [ e t X ] e t a = ∏ i E [ e t X i ] e t a . {\displaystyle \Pr \left[X\geq a\right]=\Pr \left[e^{tX}\geq e^{ta}\right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[e^{tX}\right]}{e^{ta}}}={\prod _{i}E[e^{tX_{i}}] \over e^{ta}}.}

Do có thể chọn t tùy ý, ta có

Pr [ X ≥ a ] ≤ min t > 0 ∏ i E [ e t X i ] e t a . ( + ) {\displaystyle \Pr \left[X\geq a\right]\leq \min _{t>0}{\prod _{i}E[e^{tX_{i}}] \over e^{ta}}.\quad (+)}

Tương tự như vậy,

Pr [ X ≤ a ] = Pr [ e − t X ≥ e − t a ] {\displaystyle \Pr \left[X\leq a\right]=\Pr \left[e^{-tX}\geq e^{-ta}\right]}

Do đó,

Pr [ X ≤ a ] ≤ min t > 0 e t a ∏ i E [ e − t X i ] . ( + + ) {\displaystyle \Pr \left[X\leq a\right]\leq \min _{t>0}e^{ta}\prod _{i}E[e^{-tX_{i}}].\quad (++)}